Cómo representar gráficamente una función definida a trozos. Dominio e Imagen.

.Función a trozos. Representación gráfica. Dominio e Imagen  (recorrido o rango)

Hola!!!!,

en esta entrada quisiera mostrar cómo hacer una representación gráfica de una función definida a trozos.

Este tipo de funciones son un tanto peculiares, ya que la función viene definida por trozos de funciones que habitarán en una región determinada del plano.

El video tutorial se divide en tres partes fundamentalmente:

1. Visualización de las regiones.
2. Representación de las funciones (trozos).
3. Cálculo del dominio e imagen.

Huelga explicar qué hago en cada parte, pero por si queda alguna duda, en la primera parte explico cuáles son las regiones en las que queda dividida nuestro plano en función de las diferentes restricciones que tienen los trozos de nuestra función. En la segunda realizo la representación gráfica de cada una de las funciones. Y, finalmente en la tercera parte, explico cómo hallar el dominio y la imagen (recorrido o rango) de la función en cuestión.

Bueno, aquí os dejo el vídeo y espero que os resulte de ayuda.

Un saludo!!!!

Esbozo de la gráfica de una parábola

Cómo esbozar la gráfica de una función cuadrática o parábola

Qué tal!!!,

en esta entrada os presento un video tutorial en el que explico, de una manera un tanto somera, cómo esbozar la gráfica de una función cuadrática, o su parábola.

Cuando digo somera, lo digo porque no entro a analizar todos los puntos de cortes y tal, ya que como bien he dicho se trata de esbozar, es decir, hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función. De este modo, lo que trato de hacer en el videotutorial es de dar los tips necesarios para poder llevar a cabo dicho esbozo. Esto es, calcular el vértice y, en función de su situación y del signo del coeficiente principal, hallar o no puntos de corte con el eje OX. Todo esto, aunque parezca burdo por no entrar en más cuestiones, es lo NECESARIO para hacer el esbozo. ¿Y por qué señalo la palabra "necesario"?, porque cuando uno hace análisis de funciones, debe diferenciar entre lo útil, lo inútil, y lo necesario. Es decir, por ejemplo, en el vídeo no comento nada acerca de los cortes con el eje OY, ahora bien, ¿es necesario calcularlo?, no necesariamente. En cambio, sí es fundamental saber dónde está el vértice, si la función es convexa o cóncava, y en función del aspecto que puede tener, si hay que calcular puntos de cortes con el eje OX.

Respecto a dichos cortes con el eje OX, podría haber dicho, para dibujar una función es necesario... esto, esto, esto, etc... y dar una lista de instrucciones, pero creo que es más interesante aprender a ser críticos, y saber qué es necesario y qué no. Así, y tal y como comento en el vídeo, se puede ahorrar tiempo a la hora de hacer ejercicios.

Durante el desarrollo del vídeo, primeramente, llevo a cabo un ejercicio de forma práctica, numérica, para después pasar a dar una explicación más simbólica. Finalmente, y con la ayuda de Geogebra, vuelvo a analizar un par de ejemplos más en los que repaso lo comentado en el vídeo.

Más adelante, realizaré otro videotutorial en el que haré un estudio más pormenorizado de las funciones. Es decir, entro en estudiar monotonía, continuidad, puntos de corte, etc... Pero de momento, vamos con lo que vamos.

Un saludo y... Dentro vídeo!!!!

Resolución de ecuaciones de 2º grado incompletas

Cómo resolver ecuaciones de segundo grado incompletas

Hola qué tal!!!!

Hoy os dejo una nueva entrada, con su videotutorial correspondiente, en la que os explico cómo resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ya os comenté en una entrada anterior que, a partir de la fórmula utilizada para la resolución de una ecuación de segundo grado completa, se puede resolver también las incompletas. Pero la vida no acaba ahí, las incompletas se pueden resolver de una manera mucho más sencilla, y para eso va dedicada la entrada de hoy.

Si queréis, echadle primero un vistazo al videotutorial, y si no habéis entendido algo, seguid leyendo, que os lo explico por aquí también. Por cierto, si os gusta el vídeo no olvidéis dar a "like" y suscribiros a mi canal.

Bien, en el vídeo os explico que, en función  de los valores de b y c, la expresión general varía y la ecuación incompleta que aparece también. Esto es, y distinguimos los siguientes casos:

1. Si b = c = 0 → ax²=0

1. Si c=0 → ax²+bx=0 → x(ax+b)=0 → x₁=0 || x₂=-b/a

1. Si b=0 → ax²+c=0 → ax²=-c → x²=-c/a → x₁= + √(-c/a) || x₂= - √(-c/a)

Bueno, espero que os haya quedado lo suficientemente claro, y recordad lo que dije en el vídeo. Lo importante es pensar, no memorizar. "La memoria es el talento del torpe". Así que ya sabéis, repasad bien el concepto de expresión general de una ecuación cuadrática completa y, a partir de ahí, aprended a deducir la expresión de las incompletas.

Un saludo!!!

Cómo hallar la expresión analítica de una función afín o lineal dados dos puntos cualesquiera.

Cómo hallar la expresión analítica de una función afín o lineal dados dos puntos cualesquiera.

Hola!!!, en el videotutorial de hoy os explico cómo hallar la expresión analítica de una función lineal o afín dados dos puntos cualesquiera.

Como ya sabéis es un clásico-básico de entre los ejercicios del tema de funciones en el curso de 2º ESO.

El vídeo tiene una introducción teórica en la que se explica el procedimiento que se lleva a cabo para la realización del ejercicio y posteriormente se realizan dos ejemplos. Un caso de función afín y otro lineal.

Espero que os sea de utilidad. Si os ha gustado el vídeo, no olvidéis aportar vuestro "like" en youtube, compartirlo y suscribiros a mi canal.

Un saludo!!!

Función lineal. Estudio y representación.

Función lineal (y=mx). Pendiente. Representación gráfica. (Nivel 2º ESO)

Hola a todas y a todos!!!

Hoy os presento un nuevo videotutorial en el que realizamos un estudio pormenorizado de la función lineal y sus características. Asimismo, y una vez visto el concepto de pendiente, vemos la relación existente entre dicha pendiente y la monotonía de la función.

Por último, vemos cómo representarla gráficamente, viendo que la peculiaridad de su gráfica es que  es una recta que SIEMPRE para por el origen de coordenadas.

Bueno, os dejo el video a continuación y no olvidéis darle a "me gusta" al vídeo si os a gustado y/o suscribiros a mi canal de youtube.

Espero que os guste!! Un saludo.

Cómo dibujar una función afín (videotutorial 2º ESO)

Función afín (y=mx+n). Estudio pormenorizado. Pendiente. Monotonía. Representación gráfica. (Nivel 2º ESO)

Aquí os dejo un videotutorial pequeñito donde podréis ver el concepto de función afín, pendiente y ordenada en el origen, monotonía y dibujo de la gráfica de dicha función afín. Es algo que se suele utilizar a lo largo de la etapa de enseñanza secundaria y que, además, conviene que se entienda muy muy bien.

Es un concepto que he estado viendo en estos días con mi alumnado de 2º de la ESO.

No olvidéis dar a "Me gusta" en el vídeo de Youtube y suscribíos a mi canal. Compartid también el vídeo si lo creéis conveniente.

Espero os sea de utilidad. Saludos!!

Conjuntos Numéricos

¿Cuáles son los conjuntos numéricos?... Reales, naturales, enteros, racionales.

Buenas!!!! vamos a estrenar el blog con una entrada en la que explicaré cómo funcionan, en matemáticas, los conjuntos numéricos.

Téngase en cuenta que esta explicación está desarrollada conforme al nivel de exigencia de un primer curso de la educación secundaria. Con lo que no entraré en detalles científicos rigurosos tales como axiomáticas, etc...

Bien, en matemáticas tenemos varios tipos de conjuntos numéricos. Por un lado tenemos los números naturales, que se denota por ℕ. Este conjunto, amén de la axiomática de Peano que lo define perfectamente, se construye por necesidad. Me explico, hace miles de años, el hombre y la mujer sienten la necesidad de contar. Por ejemplo, necesitaban saber cuántos hijos tenían, o cuántos corderos poseían en su rebaño. De este modo, surgieron los números 1, 2, 3, 4, ... Con lo que

ℕ={1,2,3,...}

Por otro lado, conforme fue aumentando la necesidad de contar o de llevar una determinada contabilidad, surgió la consideración de los números negativos. Hay que tener en cuenta que estos nacen con las operaciones suma y diferencia, de hecho, en el renacimiento se advierte de su existencia, aunque ya se utilizaban en la India. Añadido a ellos, también se considera al cero (0), que también era usado por matemáticos hindúes desde hacía siglos. Este conjunto de números enteros se denota por ℤ, ¿y por qué con una z?, pues porque la palabra números, en alemán, se escribe zahlen. De este modo se convino a utilizar esa notación.

Ok, de este modo... ℤ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.

Ahora bien, ¿están los números naturales contenidos en los enteros?. Pues sí, de hecho, los naturales son realmente todos los números enteros estrictamente mayores que cero. De esta manera, ℕ⊆ℤ.

Por último, tenemos los números racionales, que se denotan por . ¿Por qué esa "q" mayúscula?, bueno, la razón es por la palabra "quotient" (inglés) o "quoziente" (italiano), cociente. Y es que todos esos números son fracciones, es decir, por ejemplo, , también se puede escribir 3/4. Es decir:

= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

Un momento... ¿qué ocurre si consideramos -6/3?, recordemos que -6:3=-2, con lo que tendríamos un número entero. De este modo, ℕ⊆ℤ⊆.

Finalmente, a parte de estos números racionales, enteros, naturales y demás, tenemos también los irracionales, los cuales se denotan por . Y este conjunto está formado por todos aquellos números que no pueden expresarse como un número racional. O lo que es lo mismo, y hablando en plata, son todos aquellos números decimales que tienen infinitos decimales y los cuales no siguen un patrón de repetición determinado. Por ejemplo, √2.

Bueno, una vez visto esto, podemos concluir diciendo que entre os números racionales y los números irracionales tendríamos todos los números necesarios para la vida cotidiana, para la vida real. Es por ello que de la unión de esos dos conjuntos surgen los números reales. Por tanto,

para ilustrar con más detalle y de una forma más amena todo lo expuesto,

(Imágenes: www.portaleducativo.net)