Flipped Learning y ABP: Relación entre las funciones lineales, el efecto Venturi y las fuertes levanteras de Cádiz.

Hola a todas y a todos!!!

Una vez finalizado el curso, y habiendo podido descansar medio día XD, vuelvo a la carga!!!

En este caso os voy a contar parte del trabajo realizado durante el tercer trimestre, concretamente para el desarrollo del bloque de análisis en un curso de segundo de la ESO.

Como sabréis, en dicho bloque se contempla trabajar las funciones lineales, afines y cuadráticas. OK, pues en la penúltima semana de abril, concretamente el día 20 de dicho mes, sopló un fuerte viento de levante en la zona del estrecho de Gibraltar. Pero ojo!!, cuando digo fuerte, hablo de rachas de 110 km/h. Una barbaridad!

No tengo sueño!! ¿Qué hago?

Una de esas noche, ante la imposibilidad de conciliar el sueño, me dediqué a pensar un poco y, tras escuchar el silbido del viento al entrar por alguno de los resquicios que encontró a su paso, se me encendió la bombilla y me acordé de Venturi.

El caso es que, allí mismo en la cama y con mi teléfono móvil, me puse a buscar información al respecto y.... bingo!!!, la topografía de la costa mediterránea y el Riff, norte de África, forman un estrechamiento hacia, valga la redundancia, el estrecho de Gibraltar. De este modo, se produce un efecto Venturi al soplar viento desde el Este de la Península, con lo que su velocidad se acentúa al llegar al estrecho. 

Así, por tanto, soplando viento de levante, no sopla a la misma velocidad en Estepona (Málaga) que en Tarifa (Cádiz), pese a estar a escasos 75 kms. (Fuente aquí - Revista de la UCM).

Bien, si miráis en link sobre el efecto Venturi veréis la presión que alcanza un fluido (igualmente líquido que gaseoso), es directamente proporcional a la sección del conducto por el que discurre. Es decir, estamos hablando de una dependencia lineal. O lo que es lo mismo, de una función lineal. Asimismo, la velocidad también quedaría relacionada mediante una constante en forma de fracción propia, pero guardando la expresión general de una función lineal.

Del dicho al hecho... y al estrecho!!

Me puse manos a la obra!!

Formamos los grupos, procuré que los grupos no fuesen los habituales, exigiendo que el alumnado se viese obligado a trabajar con compañeros no habituales. Esto es, rompí los grupos de amiguetes.

Les planteé los objetivos del proyecto y qué quería que investigaran. Así, en clase, el alumnado trabajó en grupos, poniendo en práctica el ideal BYOD (bring your own device), o lo que lo mismo, usaron sus propios dispositivos electrónicos para la búsqueda de información.

APLICAR METODOLOGÍAS INNOVADORAS NO SUPONE RENUNCIAR AL RIGOR EN LOS CONTENIDOS

Para ello empleamos un par de sesiones. Por las tardes, tuvieron la posibilidad de visualizar, en el aula virtual, los vídeos sobre técnicas de representación de funciones lineales, afines y cuadráticas.

Paralelamente a la realización del proyecto, puesto que aplicar metodologías activas e innovadoras no supone renunciar al rigor en los contenidos, trabajaron problemas clásicos de representación y estudio de funciones lineales, afines y cuadráticas.

Llegó el momento de presentar los proyectos y se produjo la magia!!!

Llegó el día de comenzar las exposiciones de los proyectos por grupos y se hizo la magia!!!. Es lo bonito del ABP, es lo bonito de dar al alumnado riendas sueltas a su imaginación.

Sin esperarlo por mi parte, surgieron exposiciones con experimentos en vivo y en directo, exposiciones cantadas, presentaciones en Power Point con animaciones incrustadas, vídeos, y un largo etcétera detalles que amenizaron los trabajos realizados y mostraron el gran potencial que cada uno de los chicos y chicas tenían para explotar.

Una imagen vale más que mil palabras!!

Para que lo veáis con algo más de detalle, os dejo el vídeo resumen del trabajo realizado durante el tercer trimestre. En dicho vídeo se incluye también un poco de estadística, trabajada antes del bloque de análisis. Por otro lado, también se han realizado Chroma para poder explicar el efecto Venturi y el levante.

Lo dicho, espero que os guste!!!

Flipped Learning y la falta de recursos!!!

Flipped Learning y la falta de recursos

Hola a todas y a todos!!!.

Sí, lo sé, he dejado abandonado el blog por un tiempo, y pido disculpas por ello, pero me ha sido imposible poder llevar tantas cosas a la vez. Prometo ser un poco más fiel y actualizarlo un poco más. Eso sí, advierto de que, en los próximos días, colgaré bastante material para que le echéis un vistazo. Material que, ahora mismo, está en mi aula virtual. De hecho, el motivo de no haber podido actualizar el blog ha sido ese, perder llevar a cabo la metodología con mi aula virtual en condiciones casi extremas jeje.

Así, y a colación de la situación en la que me he encontrado este curso, vengo a hablaros un poco de qué hacer en esos casos. Veréis, este año he impartido matemáticas en un centro ubicado en una zona muy deprimida (en términos socio-económicos), hasta el punto, por ejemplo, de tener algún alumno que no tenía ni cama para dormir en casa. Fijaos hasta dónde podemos llegar con los tiempos que corren. Bueno, un desastre. Pero eso sí, trabajar en este tipo de centros hace ver lo importante que es el sistema educativo.

Por ejemplo, este curso, de un cuarto de la ESO muy conflictivo, hemos conseguido que titulasen el 50% del grupo en Junio. Fijaos qué significa eso!!!. Ello hace que esos chavales y chavalas, puedan cursar su grado medio y salir, el día de mañana, del gueto en el que se encuentran y de su situación de exclusión social!!!!. Qué queréis que os diga, a mí eso me mueve y me conmueve. Me hace sentir maravilloso!!!!

Pero bueno, no nos perdamos de la temática sobre la que versa está entrada.

Mi alumnado no tiene internet en casa... ¿Qué hago?¿Cómo hago flipped?

A ver, está es la pregunta del millón.

Cuando un/a profesor/a habla conmigo sobre el tema de Flipped Learning, siempre termina haciendo el típico rosario de preguntas que comienzan por "y si...". Cuestiones como "¿y si no tiene internet en casa?, ¿y si no tiene movil?, ¿y si no tiene ordenador?, ¿y si...?", en fin lo de siempre.

Y yo, muy diplomáticamente, siempre contesto lo mismo. "No existe el crecepelos!! Ni la receta milagrosa!!", siempre nos vamos a encontrar piedrecitas en el camino que, siempre siempre siempre, deberemos trabajar por sortearlas.

Unos Tips para esos casos!!!

Si el alumnado no tiene posibilidad de ver vídeos en casa, algo ir os puede ayudar es lo siguiente:

• Pasarle los vídeos en un Pendrive.
• Disponer de algún ordenador, tableta o movil en clase donde pueda visionario el vídeo antes de comenzar la sesión.
• Tirad de carros de portátiles que tengáis en insti o en el cole.
• En casos extremos, dar dos pinceladas teóricas, evitando el rollo magistral y tirar de la vieja mayéutica.

La mayéutica es, en la filosofía socrática, el diálogo donde el locutor interpelado descubre las verdades por sí mismo. Esto es, podemos plantear un plan de trabajo por descubrimiento, donde el alumnado, en lugar de recibir un totón teórico, pueda mediante el desarrollo de actividades o un proyecto, adquirir el resto de conocimientos por descubrimiento.

Esto es algo que a mí me funciona!!!!. Y os puede ayudar.

No os desaniméis!!!

Lo dicho, no os vengais abajo por el hecho de que en vuestro centro hay pocos recursos. Eso no debe ser excusa para que replanteéis la forma de hacer las cosas.

Debéis tener claro lo que hemos comentado un poco más arriba, NO EXISTEN LAS RECETAS MÁGICAS!!! Hay que trabajar, adaptar, planificar y tener en cuenta de qué material humano y digital dispone para poder llevar a cabo la metodología.

Pero innovad!!! Seguro que os hará vuestro día a día y el de vuestro alumnado más agradable.

Un saludo y nos vemos en la siguiente entrada!!!!

Potencias II

Potencias II

Buenas!!, disculpad la tardanza pero he andado bastante liado aunque, a la vez, con el "rum-rum" en la cabeza de crear la entrada de continuación de Potencias I en la que sólo hablé del caso en que la base fuese positiva. Asimismo, también me dejé en el tintero hablar de la nomenclatura, ya sabéis, "... al cuadrado", "... al cubo".

Bien, pues a continuación os dejo un pequeño video tutorial en el que aclaro qué ocurre cuando la base es negativa, qué ocurre cuando el signo no pertenece a la base y qué significa y cuándo se hace mención a las expresiones "... al cuadrado" y "... al cubo".

Se trata de un video chiquitín, pero creo que bastante eficiente. Fijaos en la cuña de inicio, en la misma se expone y se hace mención a la nomenclatura. Y en especial fijaos en "... al cubo", la cual va representada por la figura geométrica del cubo. Ya que ese es su origen, las tres dimensiones, el espacio ambiente que nos rodea en el que, para medir un volumen, multiplicamos longitud por anchura y por altura y, por ende, la unidad con la que estemos trabajando se multiplica por sí misma tres veces. Y de ahí la expresión y su nomenclatura.

Por otro lado, también se habla de cómo afecta la paridad del exponente (que sea par o impar) al signo del resultado de la potencia. Por ejemplo:
$${(-3)}^{4}=81$$
... en este caso el exponente es par y el resultado es positivo. En cambio, si el exponente es impar como en el siguiente ejemplo,
$${(-3)}^{3}=-27$$
... el resultado es negativo.

Por último doy un ejemplo de qué pasa cuando el signo pertenece a la potencia y no a la base, o lo que es lo mismo, la potencia es negativa pero la base no va entre paréntesis. Por ejemplo: $${ -2 }^{ 3 }=-8$$

Bueno, creo que hay poco que añadir, así que echadle un vistazo al vídeo, que como se suele decir... "una imagen vale más que mil palabras".

Y no olvidéis ir practicando a la vez que se van dando las explicaciones!!!!

Hasta la próxima!!!

Potencias I

Hola!!! Después de un receso considerable debido a las vacaciones y al ajetreo del comienzo de curso, he vuelto con una nueva entrada con vídeo tutorial incluido.

Este curso he cambiado de centro y he tenido que adaptarme a la nueva situación. Compañeros nuevos, alumnado nuevo, criterios nuevos a la hora de desempeñar mis funciones como profesor y tutor, etc.

En fin, vamos a lo que nos ocupa esta entrada.

Trabajando con un segundo de la ESO, y viendo en clase los números enteros, he impartido un par de sesiones sobre potencias. Y a partir de aquí, lo de siempre, hemos visto qué es y para qué sirve, así como diferentes propiedades que cumplen y que son de utilidad para agilizar el cálculo.

En este video tutorial explico el concepto de potencia, aunque por despiste, sólo he puesto ejemplos de potencias de base positiva. Bueno... eso tampoco está mal, ya que haré otro vídeo tutorial en el que entre al detalle de la influencia de la paridad del exponente sobre el resultado de las potencias de base negativa. Además, también es cierto que no hago mención a las nomenclaturas "al cuadrado" y "al cubo", así que nada, ya hay motivos para explicarlos en otro vídeo tutorial.

Bueno, no os entretengo más.... ánimo!!!!

Monomios. Operaciones.

-.Operaciones con Monomios.-

Hola!!!,

en esta entrada quisiera tratar el concepto de monomio y las operaciones que se pueden realizar con ello.

Veréis, el concepto de monomio es algo que hay que entender muy muy bien, ya que es base para la posterior ampliación al concepto de polinomio y es algo que os va a acompañar a lo largo de toda vuestra vida académica (siempre que deis matemáticas).

Así, por tanto y más adelante, si no controláis los monomios (y posteriormente los polinomios), muy difícilmente podréis manejaros bien con la ecuaciones, por ejemplo, con las de segundo grado.

Bueno... pues os aconsejo que, en lugar de ver de manera teórica todo, veáis primero el siguiente vídeo tutorial y luego leáis la entrada del blog. Seguro que así lo entenderéis mejor!!!

Dentro vídeo!!!!

¿Qué son los monomios?

Los monomios son expresiones algebraicas que poseen dos partes fundamentales, una parte numérica o coeficiente y otra parte literal. Esto es, 

de este modo, hemos de recordar siempre que la parte literal, cuyo adjetivo se debe precisamente a la palabra "letra", es aquella que contiene a la/s variable/s. En cambio, el coeficiente es, siempre, el numerillo que va multiplicando a la parte literal, que por conveniencia y lógica se coloca delante.

Cuando hago referencia  a la lógica es por el propio sentido común, por el propio lenguaje algebraico en sí. Es decir, manejar monomios es como manejar objetos con las manos. De esta manera, si escribo $2·x^2$, lo normal es leer "dos por equis cuadrado" o "dos equis cuadrado", ahora bien, si escribo $x^2 ·2$, ¿cómo se leería?, pues "equis cuadrado por dos o equis cuadrado dos", lo cual es antinatural ¿no?, ¿no te resulta extraño?. Nadie habla invirtiendo el orden de los elementos del lenguaje, salvo el maestro jedi Yoda claro ;-p. Lo que hace que, por naturaleza, el coeficiente se coloque delante de la parte literal del monomio.

Vale, pues una vez aclarado esto, nos podemos hacer la siguiente pregunta...

 ¿Todos los monomios son distintos entre sí?... o ¿hay monomios semejantes? 

Bueno, volvamos al sentido común... como dije antes, puesto que manejar monomios es como manejar objetos, vamos a plantearnos la siguiente situación:

Vamos a suponer que nos compramos un coche de la marca $x^3z$, extraña marca sí, pero muy buena. Y con el tiempo, nos toca una gran mega primitiva y no compramos un $x^3z^2$, mi pregunta es, ¿nos hemos comprado el mismo coche?, yo creo que no. De hecho, hasta al nombrarlos lo haríamos de diferente manera.

En cambio, si nos compramos un $x^3z$ y posteriormente otro $x^3z$, tendríamos en nuestra cochera dos $x^3z$, o lo que es lo mismo, $2x^3z$.

¿Qué diferencia ha habido entre este último ejemplo y el anterior?, pues que en el primer caso, no teníamos la misma parte literal y en el segundo sí. Y ahí es donde nos aparece el concepto de monomio semejante, y así podemos decir que:

"Dos monomio son semejantes si poseen la misma parte literal"

Fijaos que todo cobra sentido, además de manera muy muy natural. Por lo tanto,  $3x^2$ y $5x^2$ sí son monomios semejantes. En cambio, $3x^2$ y $5x^4$, no.

Vale, ahora bien, las partes literales tienen un elemento que tambien caracteriza a nuestro monomio, y es...

Grado de un monomio

¿Qué es el grado de un monomio?, pues su definición es la siguiente:

"El grado de un monomio es el valor correspondiente a la suma de los exponentes de las variables que conforman su parte literal"

Esto que acabas de leer, puede parecer un galimatías, pero mejor lo vemos con un ejemplo (también lo puedes ver claro en el videotutorial).

Supongamos que nos dan el monomio $-3x^5yz^2$ y nos piden que hallemos su grado. Bien, lo que tendremos que fijarnos es en los exponentes de cada una de las variables que conforman la parte literal. No olvidemos que en nuestro caso las variables son tres: $x,y$ y $z$. De esta manera, y teniendo en cuenta sus exponentes, tenemos que cada variable tiene los siguientes grados
$$x\rightarrow 5\\ y\rightarrow 1 \\ z\rightarrow 2$$
no olvides que si, sobre una variable no aparece ningún número, su exponente es $1$, ojo!!! es un error muy común poner $0$, y no!!!!, exponente que no aparezca, exponente $1$. SIEMPRE!!

Ok, visto lo visto, sumamos esos exponentes y tendríamos que $5+1+2=8$, con lo que el grado de nuestro monomio es $8$.

Ok, visto esto, vamos a ver cómo operar con los monomios.

Suma y resta de monomios

Para poder sumar y restar monomios, hay que tener presente una cosa...  

"Sólo se podrán sumar y restar monomios que sean semejantes"

¿Por qué?... por lógica y por sentido común, acuérdate de los ejemplos vistos en el subapartado de monomios semejantes. De este modo, cuando queramos sumar o restar monomios semejantes, sumaremos o restaremos la parte numérica y la literal la dejaremos tal cual. Veámoslo con un ejemplo:

$$3x^2-7x^2=-4x^2\\2x^4+6x^4=8x^4$$

Fíjate que lo que hemos hecho es operar la parte numérica, pero sólo porque son semejantes. Si no fuesen semejantes... no podemos operar de esa manera. Por lo tanto, si nos plantan dos monomios no semejantes y nos piden que los sumemos, se quedarían como están esto es, $$3x^2+x^5=3x^2+x^5$$

y no podríamos hacer nada más.

Producto de monomios 

Para esta operación sí podremos multiplicar cualquier tipo de monomios entre sí, sólo que, tanto en el producto como en el cociente o división, haremos uso de las propiedades de las potencias. Así que vamos a comenzar recordando estas, sobre todo las que usaremos:

• Para multilpicar dos potencias con la misma base, dejamos la base y sumamos los exponentes.
• Para dividir dos potencias con la misma base, dejamos la base y restamos los exponentes.

Así, para multiplicar dos monomios, multiplicamos los coeficientes y también, haciendo uso de la proiedad 1 comentada más arriba, las partes literales. Lo mejor... es verlo con un ejemplito:
$$2x^3·3x^4=(2·3)·x^{3+4}=6x^7$$
fíjate que he multiplicado los coeficientes y las partes literales. Y para operar las partes literales he usado la regla anteriomente comentada, es decir, he dejado la base y he sumado los exponentes, pues eran dos potencias con la misma base que se estaban multiplicando.

Pasemos ahora al cociente o división de dos monomios.

Cociente de monomios

Al igual que con en el producto de monomios, también podremos dividir cualquier tipo de monomios entre sí. Así que lo haremos de la siguiente manera: Para dividir dos monomios, dividiremos los coeficientes entre sí y las partes literales entre sí. Veámoslo con un ejemplo:
$$\frac{6x^7}{3x^2}=\frac{6}{3}·\frac{x^7}{x^2}=2·x^{7-2}=2x^5$$
fíjate cómo se ha operado. De forma muy parecida al caso de la operación pero, en esta ocasión, con un cociente o división.

Potencia de un monomio

En primer lugar, debemos pensar qué es la potencia de un monomio. Bueno, pues no es más que tomar un monomio y elevarlo a la potencia que sea. Por ejemplo: $\displaystyle (3x^2)^5$

Ahora bien, ¿cómo vamos a resolver este tipo de operaciones?, pues en primer lugar vamos a tener en cuenta un par de propiedades de las potencias que usaremos. Estas son las siguientes:

• $(a·b)^n=a^n·b^n$
• $(a^n)^m=a^{n·m}$

Es decir, cuando elevo un producto a una potencia, es elevar cada factor a la potencia. Y cuando una potencia está elevada a otra, permanece la parte literal y se multiplican los exponentes. Pero, como siempre, lo mejor es verlo con un ejemplo:
$$(3x^2)^3=3^3·(x^2)^3=27·x^6=27x^6$$

Cómo representar gráficamente una función definida a trozos. Dominio e Imagen.

.Función a trozos. Representación gráfica. Dominio e Imagen  (recorrido o rango)

Hola!!!!,

en esta entrada quisiera mostrar cómo hacer una representación gráfica de una función definida a trozos.

Este tipo de funciones son un tanto peculiares, ya que la función viene definida por trozos de funciones que habitarán en una región determinada del plano.

El video tutorial se divide en tres partes fundamentalmente:

1. Visualización de las regiones.
2. Representación de las funciones (trozos).
3. Cálculo del dominio e imagen.

Huelga explicar qué hago en cada parte, pero por si queda alguna duda, en la primera parte explico cuáles son las regiones en las que queda dividida nuestro plano en función de las diferentes restricciones que tienen los trozos de nuestra función. En la segunda realizo la representación gráfica de cada una de las funciones. Y, finalmente en la tercera parte, explico cómo hallar el dominio y la imagen (recorrido o rango) de la función en cuestión.

Bueno, aquí os dejo el vídeo y espero que os resulte de ayuda.

Un saludo!!!!

Esbozo de la gráfica de una parábola

Cómo esbozar la gráfica de una función cuadrática o parábola

Qué tal!!!,

en esta entrada os presento un video tutorial en el que explico, de una manera un tanto somera, cómo esbozar la gráfica de una función cuadrática, o su parábola.

Cuando digo somera, lo digo porque no entro a analizar todos los puntos de cortes y tal, ya que como bien he dicho se trata de esbozar, es decir, hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función. De este modo, lo que trato de hacer en el videotutorial es de dar los tips necesarios para poder llevar a cabo dicho esbozo. Esto es, calcular el vértice y, en función de su situación y del signo del coeficiente principal, hallar o no puntos de corte con el eje OX. Todo esto, aunque parezca burdo por no entrar en más cuestiones, es lo NECESARIO para hacer el esbozo. ¿Y por qué señalo la palabra "necesario"?, porque cuando uno hace análisis de funciones, debe diferenciar entre lo útil, lo inútil, y lo necesario. Es decir, por ejemplo, en el vídeo no comento nada acerca de los cortes con el eje OY, ahora bien, ¿es necesario calcularlo?, no necesariamente. En cambio, sí es fundamental saber dónde está el vértice, si la función es convexa o cóncava, y en función del aspecto que puede tener, si hay que calcular puntos de cortes con el eje OX.

Respecto a dichos cortes con el eje OX, podría haber dicho, para dibujar una función es necesario... esto, esto, esto, etc... y dar una lista de instrucciones, pero creo que es más interesante aprender a ser críticos, y saber qué es necesario y qué no. Así, y tal y como comento en el vídeo, se puede ahorrar tiempo a la hora de hacer ejercicios.

Durante el desarrollo del vídeo, primeramente, llevo a cabo un ejercicio de forma práctica, numérica, para después pasar a dar una explicación más simbólica. Finalmente, y con la ayuda de Geogebra, vuelvo a analizar un par de ejemplos más en los que repaso lo comentado en el vídeo.

Más adelante, realizaré otro videotutorial en el que haré un estudio más pormenorizado de las funciones. Es decir, entro en estudiar monotonía, continuidad, puntos de corte, etc... Pero de momento, vamos con lo que vamos.

Un saludo y... Dentro vídeo!!!!